СУММА УГЛОВ МНОГОУГОЛЬНИКА

На предыдущем занятии мы выяснили, что сумма углов произвольного треугольника равна 180°.                      

Выясним теперь, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника.

Теорема. Сумма углов произвольного выпуклого n-угольника равна 180° (n-2).

Доказательство. Из какой-нибудь вершины выпуклого многоугольника проведем все его диагонали (рис. 1). Тогда многоугольник разобьется на n-2 треугольника. В каждом треугольнике сумма углов равна 180°, и эти углы составляют углы многоугольника. Следовательно, сумма углов многоугольника равна 180° (n-2).

Пример. Чему равны углы правильного: а) треугольника; б) четырехугольника; в) пятиугольника; г) шестиугольника; д) n-угольника?

Решение. По доказанной теореме сумма углов произвольного выпуклого n-угольника равна 180° (n-2). Так как в правильном n-угольнике все углы равны, то каждый из них должен равняться . Подставляя вместо n различные значения, получим, что углы правильного треугольника равны 60°; углы правильного четырехугольника равны 90°; углы правильного пятиугольника равны 108°; углы правильного шестиугольника равны 120°.

Задачи

1. Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их.

2. Сумма углов выпуклого многоугольника равна 900°. Сколько у него сторон?

3. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.

4. Докажите, что у выпуклого многоугольника может быть не более трех острых углов.

5. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из его внешних углов равен: а) 36°; б) 24°?

6. Докажите, что все углы, образованные сторонами и диагоналями правильного n - угольника, кратны .

7*. Докажите, что сумма углов невыпуклого n-уголь­ника равна 180° (n – 2).

8*. Чему равна сумма острых углов произвольной пятиконечной звез­дочки (рис. 2).